Semester 2 Bab 1 - Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

 

 

 

 

Standar Kompetensi

4.   Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

 

Kompetensi Dasar

4.1     Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya.

4.2     Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

4.3     Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor yang diberikan.

4.4     Menggunakan prinsip logika matematika yanga berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

 

 

 

MATERI PEMBELAJARAN

A.    Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal. Untuk menyampaikan pemikiran tersebut seseorang menggunakan kalimat. Banyak bentuk kalimat dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam matematika hanya akan dipelajari kalimat yang mempunyai arti saja, yaitu:

  1. kalimat pernyataan,
  2. kalimat terbuka,
  3. kalimat bukan pernyataan.

 

  1. Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya bernilai benar saja atau bernilai salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah. Pernyataan dinamakan juga kalimat tertutup.

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak setiap kalimat merupakan kalimat pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

  1. Widya manusia?
  2. Air adalah benda padat.
  3. 10 adalah bilangan genap.
  4. Alangkah cantiknya Eka!
  5. Tembaklah pencopet itu!

Berdasarkan kalimat-kalimat di atas, yang merupakan pernyataan adalah kalimat 1 dan 2, sedangkan yang lain bukan pernyataan.

Supaya bisa ditentukan benar atau salah, maka kalimat-kalimat itu harus dapat menerangkan sesuatu (disebut kalimat deklaratif). Jika suatu kalimat belum bisa ditentukan benar atau salahnya berarti masih memuat variabel disebut kalimat terbuka. Suatu kalimat terbuka bisa jadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan suatu pernyataan sehingga dapat ditentukan benar dan salah.

Sebagai perbandingan perhatikan kalimat di bawah ini!

  1. Tolong ambilkan buku!
  2. Sudahkah ia datang?
  3. Nasi uduk rasanya enak.
  4. Jangan tingggalkan aku.

Kalimat-kalimat di atas bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan benar atau salahnya.

Dalam menarik suatu kesimpulan dari pernyataan-pernyataan, nilai kebenaran harus bersifat logis. Nilai kebenaran atau salah dapat memakai dasar empiris dan nonempiris. Nilai kebenaran hanya ada dua, yaitu benar atau salah. Untuk nilai benar dinotasikan B dan untuk nilai salah dinotasikan S.

Lambang-lambang yang lazim dipakai untuk menyatakan suatu pernyataan dalam logika adalah:

  1. Huruf p, q, r, … untuk menyatakan suatu pernyataan.
  2. B, T, dan I untuk menyatakan nilai benar.
  3. S, F, atau O untuk menyatakan nilai salah.

Nilai kebenaran suatu pernyataan didasarkan pada:

  1. Dasar empiris yaitu benar atau salahnya suatu pernyataan didasarkan pada fakta yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh:

  • Pangeran Williams berasal dari Inggris. (merupakan pernyataan benar)
  • Semua ikan bernafas dengan insang. (merupakan pernyataan salah)
  1. Dasar tidak empiris yaitu menentukan benar atau salahnya suatu pernyataan berdasarkan pada perhitungan-perhitungan atau bukti dalam matematika.

Contoh:

  • Grafik f(x) = x2 – 3x + 2 membuka ke atas (pernyataan benar)
  • Fungsi f(x) =  dipenuhi oleh semua x  R (pernyataan salah)

 

  1. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat variabel dan apabila variabel tersebut diganti dengan suatu konstanta (anggota semesta) akan diperoleh pernyataan.

Variabel atau peubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan.

Persamaan x + 5 = 8 itu dinamakan kalimat terbuka, yaitu kalimat yang mengandung variabel yang berubah menjadi pernyataan (benar atau salah) setelah variabel diganti dengan konstanta. Bilangan 3 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka x + 5 = 8.

Variabel atau peubah adalah lambang untuk menunjuk anggota sembarang dari semesta pembicaraan (himpunan semesta).

Konstanta adalah lambang untuk menunjuk anggota tertentu dari semesta pembicaraan.

Salah satu cara untuk mengubah suatu kalimat terbuka menjadi pernyataan (benar atau salah) adalah dengan mengganti variabel (peubah) dalam kalimat terbuka itu dengan konstanta dalam semesta pembicaraan yang bersangkutan.

Kita juga akan berhadapan dengan kalimat terbuka yang mengandung lebih dari satu peubah.

 

 

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut:

  1. 2x + 6 = x + 7

Jawab:

2x + 6 = x + 7  2x – x = 7 – 6

 x = 1, jadi himpunan penyelesaiannya = {1}

  1. 2x + y = 6

himpunan penyelesaiannya {(2, 2), (0, 6), (1, 4), (3, 0), …}

 

  1. Negasi atau Ingkaran

Jika p adalah suatu pernyataan maka ingkarannya dinotasikan sebagai ~p atau –p atau . Apabila pernyataan p bernilai benar, maka pernyataan ~p bernilai salah. Sebaliknya bila pernyataan p bernilai salah, maka pernyataan ~p bernilai benar.

Tabel kebenaran dari ingkaran.

p

~p

B

S

S

B

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:

  1. Reni sedang belajar statistika.
  2. Semua ikan bernafas dengan insang.

Pernyataan-pernyataan di atas dapat dibentuk menjadi pernyataan-pernyataan baru yang merupakan ingkaran atau negasi dari pernyataan semula dengan menambahkan kata "tidak" atau "tidak benar bahwa" di tempat yang sesuai dengan pernyataan tersebut menurut aturan tata bahasa yang benar. Dengan demikian, ingkaran dari pernyataan-pernyataan di atas adalah sebagai berikut.

  1. Jihan sedang tidak belajar statistika.
  2. Tidak semua ikan bernafas dengan insang. Dengan kata lain, beberapa ikan tidak bernafas dengan insang.

Negasi dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p atau  (dibaca negasi p).

Contoh:

  1. p: Dewi memakai kerudung merah

~p: Tidak benar bahwa Dewi memakai kerudung merah atau

~p: Dewi tidak memakai kerudung merah

Nilai kebenaran pernyataan p tergantung realitas, jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah atau sebaliknya.

  1. q: 4 + 2 = 8 … (S)

~q: 4 + 2  8 … (B)

  1. r: 2 + 6  10 … (B)

~r: 2 + 6 < 10 … (S)

 

 B.    Nilai Kebenaran dari Pernyataan Majemuk

  1. Konjungsi

Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung dan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk p  q disebut konjungsi dan dibaca p dan q.

Pernyataan p  q disebut juga sebagai pernyataan konjungtif dan masing-masing p serta q disebut komponen (sub pernyataan). Kata perakit "dan" sering kali berarti "kemudian, lantas, lalu". Konjungsi mempunyai sifat simetrik. Jadi p  q  q  p.

Misalnya kita akan menyusun suatu konjungsi dari dua pernyataan berikut:

p = Ada sepeda motor

q = Tersedia bensin

Konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah bensin.

p  q = Ada sepeda motor dan tersedia bensin.

Selanjutnya, karena konjungsi merupakan suatu pernyataan maka kita dapat menentukan nilai kebenarannya, yaitu bernilai benar saja atau salah saja dan bukan keduanya.

Untuk menentukan nilai kebenaran tersebut, coba kita pikirkan sebagai berikut:

  1. Ada sepeda motor, tersedia bensin. Kendaraan dapat dijalankan.
  2. Ada sepeda motor, tidak tersedia bensin, karena tidak ada bahan bakar, berarti kendaraan tidak dapat dijalankan.
  3. Tidak ada sepeda motor, tersedia bensin. Karena kendaraan tidak ada bagaimana mungkin dapat dijalankan walaupun tersedia bahan bakar.
  4. Tidak ada sepeda motor, tidak tersedia bensin. Karena keduanya tidak ada bagaimana mungkin dapat dijalankan.

Dari a, b, c, d kita dapat menentukan bahwa nilai kebenaran dari konjungsi bergantung dari nilai kebenaran masing-masing. Pernyataan yang menyusunnya, yaitu:

  1. p benar, q benar, berarti p  q benar.
  2. p benar, q salah, berarti p  q salah.
  3. p salah, q benar, berarti p  q salah.
  4. p salah, q salah, berarti p  q salah.

Jika kalian diminta untuk mengambil benda p dan q, maka supaya benar kalian harus mengambil keduanya. Hal ini dapat menjelaskan bahwa konjungsi bisa benar kalau keduanya benar. Perhatikan nilai kebenaran konjungsi pada berikut.

p

q

p  q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Nilai kebenaran dari pernyataan p biasanya dilambangkan dengan  dibaca "tau p". Jika  = S dan  = S, maka  = S.

 

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam konjungsi:

  1. Lambang  digunakan untuk mendefinisikan irisan dua himpunan.

A  B = {x | x  A  x  B}

-       Diketahui p(x) = x2 – 5x + 6 = 0 dan q(x) = x2 – 9x + 18 = 0

Himpunan penyelesaian p = {2, 3} dan q = {3, 6}

-       Jika p(x)  q(x) = {x2 – 5x + 6 = 0}  {x2 – 9x + 18 = 0}

  1. Kata-kata yang membentuk konjungsi selain dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, sambil, yang, juga, walaupun, dan lain-lain.

Berdasarkan tabel kebenaran konjungsi, p  q bernilai benar apabila p benar dan q benar. Dengan demikian, untuk menentukan nilai x pada kalimat majemuk p(x)  q dengan p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan q adalah pernyataan, perlu diperhatikan pernyataan q.

1)     Jika pernyataan q bernilai salah, setiap nilai x yang disubstitusikan dalam p(x) menyebabkan kalimat majemuk p(x)  q selalu bernilai salah.

2)     Jika pernyataan q bernilai benar, kalimat majemuk p(x)  q bernilai:

a)     benar jika p(x) bernilai benar,

b)    salah jika p(x) bernilai salah.

Contoh:

  1. Untuk x  R, tentukan x sedemikian hingga nilai kebenaran konjungsi di bawah ini adalah benar!

q . p(x) = 2x + 5 > 9

q(x) = |x| > 2

Jawab:

p(x) = 2x + 5 > 9

2x > 4

x > 2

q(x): |x| > 2 = x < –2 atau x > 2

Jadi, nilai x agar  = B adalah x > 2.

 

Ingkaran Konjungsi

Ingkaran dari konjungsi ~(p  q) adalah ~p  ~q atau ~(p  q) atau ~(p  q)  ~p  ~q. Hal ini dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut.

p

q

~p

~q

p  q

~(p  q)

~p  ~q

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

B

B

                                          Nilainya sama

Jadi, terbukti bahwa ~(p  q)  ~p  ~q

 

 

  1. Disjungsi

Jika pernyataan p dan q dihubungkan dengan kata hubung "atau", maka pernyataan p atau q disebut disjungsi, yang dinotasikan sebagai p  q (baca p atau q). Yang perlu diperhatikan bahwa kata "atau" itu tidak selalu sama artinya.

Misalkan kita akan menyusun suatu disjungsi dari 2 pernyataan berikut.

p: ada koran

q: ada televisi

Disjungsi dari 2 pernyataan tersebut adalah:

p  q = ada koran atau ada televisi

Karena disjungsi merupakan suatu pernyataan maka kita dapat menentukan nilai kebenarannya, yaitu bernilai benar atau salah. Untuk menentukan nilai kebenaran tersebut, coba kita pikirkan sebagai berikut:

  1. Ada koran, tidak ada televisi, karena ada koran, kita masih dapat memperoleh beberapa informasi penting walaupun tidak ada media cetak.
  2. Ada koran ada televisi, karena ada kita akan dapat memperoleh informasi penting.
  3. Tidak ada koran, ada televisi, karena ada televisi kita masih dapat memperoleh beberapa informasi penting walaupun tidak ada koran.
  4. Tidak ada koran, tidak ada televisi, karena tidak ada koran maupun televisi, kita tidak akan memperoleh beberapa informasi penting.

Dari a, b, c, d kita dapat menentukan bahwa nilai kebenaran dari disjungsi tergantung dari nilai kebenaran masing-masing pernyataan yang menyusunnya. Nilai kebenaran disjungsi didefinisikan sebagai berikut:

  1. p benar, q benar berarti p  q benar
  2. p benar, q salah berarti p  q benar
  3. p salah, q benar berarti p  q benar
  4. p salah, q salah berarti p  q salah

Jika kalian diminta untuk mengambil benda p atau q, maka kalian akan salah apabila tidak mengambil kedua benda tersebut. Bagaimana jika kalian mengambil salah satu atau keduanya. Saat kalian hanya mengambil p saja, q saja atau keduanya p dan q, maka tindakan kalian akan dibenarkan. Penjelasan ini dapat memperjelas kalian sehingga kalian dapat memahami bahwa nilai kebenaran disjungsi dapat dibuat seperti pada tabel berikut.

p

q

p  q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

 

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam disjungsi:

Lambang  digunakan untuk mendefinisikan gabungan dua himpunan A  B = {x | x  A  x  B}.

Diketahui p(x) = x2 – 5x + 6 = 0 dan q(x) = x2 – 9x + 18 = 0, himpunan penyelesaian p = A = {2, 3} dan q = {3, 6}.

Himpunan penyelesaian dari A  B {2, 3, 6}

 

 

Ingkaran Disjungsi

Ingkaran disjungsi ~(p  q) adalah ~p  ~q.

Hal ini dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran.

p

q

~p

~q

p  q

~(p  q)

~p  ~q

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S

S

S

B

B

S

B

B

                                                Nilainya sama

Jadi, terbukti ~(p  q)  ~p  ~q

Contoh:

Tentukan ingkaran dari:

  1. Vita anak yang pandai dan ramah.
  2. Eni suka membaca atau menulis.

Jawab:

  1. Vita anak yang tidak pandai dan tidak ramah.
  2. Eni tidak suka membaca dan menulis.

 C.    Implikasi, Biimplikasi, dan Ingkarannya

  1. Implikasi

Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat "jika p maka q" disebut implikasi atau kondisional atau pernyataan bersyarat dan dilambangkan sebagai p  q. Sedangkan pernyataan p  q disebut pernyataan implikatif atau kondisional.

  1. p  q dibaca, jika p maka q; p hanya jika q; atau p berimplikasi q; q asal saja p.
  2. Pernyataan p disebut anteseden atau hipotesa atau sebab dan q disebut konsekuen atau konklusi atau akibat.
  3. q merupakan syarat perlu bagi p; dan p merupakan syarat cukup bagi q.

Misalnya, kita akan menyusun suatu implikasi dari 2 pernyataan berikut.

p: Diah lulus ujian.

q: Orang tua Diah membelikan motor.

Implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah:

p  q: Jika Diah lulus ujian maka orang tua Diah membelikan motor.

Dalam hal ini Diah lulus ujian merupakan syarat agar orang tua Diah membelikan motor.

Karena implikasi merupakan sesuatu pernyataan maka kita dapat menentukan nilai kebenarannya, yaitu bernilai benar atau salah. Untuk menentukan nilai kebenaran tersebut, coba kita pikirkan sebagai berikut.

  1. Deva lulus ujian, orang tua Deva membelikan sepeda (benar) sebab tidak mengingkari janji.
  2. Deva lulus ujian, orang tua Deva tidak membelikan sepeda (salah) sebab mengingkari janji.
  3. Deva tidak lulus ujian, orang tua Deva membelikan sepeda (benar) sebab walaupun Deva tidak lulus ujian, tetapi boleh saja orang tuanya membelikan sepeda.
  4. Deva tidak lulus ujian, orang tua Deva tidak membelikan sepeda (benar) sebab tidak mengingkari janji.

Dari 1, 2, 3, dan 4 kita dapat menentukan bahwa nilai kebenaran dari implikasi tergantung dari nilai kebenaran masing-masing pernyataan yang menyusunnya. Nilai kebenaran implikasi didefinisikan sebagai berikut:

  1. p benar, q benar, berarti p  q benar.
  2. p benar, q salah, berarti p  q salah.
  3. p salah, q benar, berarti p  q benar.
  4. p salah, q salah, berarti p  q benar.

Macam-macam implikasi:

  1. Implikasi logis: konsekuen secara logis dapat disimpulkan dari anteseden.
  • Jika semua bilangan asli adalah rasional, maka 7 adalah bilangan rasional.
  1. Implikasi definisional: konsekuen pada implikasi ini dapat disimpulkan dari anteseden, yaitu mengacu pada suatu definisi yang berlaku.
  • Jika bangun geometri PQRS adalah persegi panjang, maka sisi-sisi yang sehadap adalah sejajar dan sama panjang.
  1. Implikasi empirik atau kausal, implikasi yang diketahui berdasarkan pengamatan empirik. Implikasi ini banyak terdapat dalam ilmu pengetahuan.
  • Kalau panas air mencapai 100oC, maka air mendidih. Konsekuen "air mendidih" hanya dapat diketahui melalui pengamatan empirik.
  1.  Implikasi intensional atau desisional, misalnya seorang anak berkata kepada orang tuanya "kalau ayah tidak membelikan motor, maka saya akan berhenti sekolah!" konsekuen "berhenti sekolah" merupakan keputusan sang anak.

Semua implikasi pasti logis, definisional, empirik, atau intensional. Akan tetapi untuk menarik suatu kesimpulan cukuplah konsekuen benar apabila antesedennya benar, tanpa harus mengetahui apakah hubungan konsekuen dengan anteseden itu bersifat logis, definisional, empirik atau intensional. Itulah sebabnya dalam logika sifat hubungan antara konsekuen dan antesedn tidak perlu ikut dipertimbangkan.

Tabel kebenaran dari implikasi p  q

p

q

p  q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Implikasi bentuk p(x)  q

Dari tabel kebenaran suatu implikasi, suatu implikasi bernilai salah apabila anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah. Dengan demikian, untuk menentukan nilai x pada implikasi p(x)  q, perlu diperhatikan pernyataan q.

  1. Jika q bernilai benar, implikasi p(x)  q selalu bernilai benar untuk setiap x yang disubtitusikan pada p(x).
  2. Jika q bernilai salah, implikasi p(x)  q bernilai:

1)     benar jika p(x) bernilai salah,

2)     salah jika p(x) bernilai benar.

Contoh:

  1. Tentukan nilai kebenaran dari p  q untuk pernyataan berikut ini!
    1. p: Grafik f(x) = x2 – 3x + 2 membuka ke atas.

q: log 23 = 2 log 3

  1. p: 29 : 23 = 23

q: 16log 2 = 4

Jawab:

  1. p: Grafik f(x) = x2 – 3x + 4 membuka ke atas,  = B

q: log 23 = 2 log 3,  = S

Jadi,  = S

  1. p: (29 : 23 = 23),  = S

q: 16log 2 = 4,  = S

Jadi,  = B

 

Implikasi berbentuk p(x)  q(x)

Untuk menentukan nilai kebenaran implikasi yang berbentuk p(x)  q(x), dapat digunakan salah satu dari dua cara berikut.

Cara I:

Apabila terdapat paling sedikit satu nilai x pada semesta pembicaraan yang menyebabkan pernyataan p(x) bernilai benar dan pernyataan q(x) bernilai salah, implikasi p(x)  q(x) bernilai salah. Sebaliknya, apabila tidak ditemukan nilai x seperti di atas, implikasi p(x)  q(x) bernilai benar.

Cara II:

Misalkan P dan Q berturut-turut adalah himpunan nilai-nilai x pada semesta pembicaraan yang mengakibatkan pernyataan p(x) dan q(x) bernilai benar. Jika P  Q, maka implikasi p(x)  q(x) bernilai benar. Akan tetapi, jika P bukan himpunan bagian dari Q, maka implikasi p(x)  q(x) bernilai salah.

Jika p(x): x = 3 dan q(x): x2 = 9. Tentukan nilai kebenaran dari:

  1. p(x)  q(x)
  2. q(x)  p(x)

Jawab:

  1. p(x)  q(x) bernilai benar, sebab jika x = 3 maka x2 = 9, jadi merupakan implikasi yang benar
  2. q(x)  p(x) bernilai salah, sebab jika x2 = 9 maka x = 3 atau x = –3

Beberapa implikasi khusus

  1. Tautologi atau implikasi logis

Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai kebenaran di komponen-komponennya.

Contoh:

p

q

p  q

(p  q)  q

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

  1. Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Contoh:

p

q

~q

p  ~q

q  (p  ~q)

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

B

S

S

S

S

S

B

S

S

Negasi dari implikasi

Dengan menggunakan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa ingkaran dari p  q adalah p  ~q atau dapat ditulis:

~(p  q)  p  ~q

 

Contoh:

Tentukan ingkaran dari implikasi berikut:

  1. Jika turun hujan, aku tidak datang.
  2. Jika bukan kamu, maka dia.

Jawab:

  1. Turun hujan dan akan datang.
  2. Bukan kamu dan bukan dia.

 

  1. Biimplikasi

Biimplikasi disebut juga implikasi dwiarah karena merupakan gabungan implikasi bolak-balik. Kata hubungnya adalah "jika dan hanya jika". Biimplikasi "p jika dan hanya jika q" dapat dituliskan dengan lambang p  q.

Dibaca p jika hanya q sering juga dibaca "jika p, maka q dan jika q, maka p"

"p syarat perlu dan cukup bagi q" atau sebaliknya

Nilai kebenaran berimplikasi p  q akan benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran sama, sama-sama B atau sama-sama S.

Misalnya kita akan menyusun suatu biimplikasi dari dua pernyataan berikut.

p: domba binatang

q: domba makan rumput.

Biimplikasi dari dua pernyataan tersebut adalah:

p  q: Doma binatang ternak jika dan hanya jika harimau makan rumput. Dalam hal ini, binatang ternak merupakan syarat perlu agar makan rumput. Sebaliknya, makan rumput merupakan syarat cukup agar binatang ternak. Karena biimplikasi merupakan suatu pernyataan maka kita dapat menentukan nilai kebenarnanya, yaitu bernilai benar atau salah.

Untuk menentukan nilai kebenaran tersebut, coba kita pikirkan sebagai berikut!

  1. Jika domba binatang ternak, maka sapi makan rumput. Hal ini benar karena domba binatang ternak maka makan rumput.
  2. Jika domba binatang ternak, maka domba tidak makan rumput. Hal ini salah, karena domba binatang ternak, tetapi domba tidak makan rumput.
  3. Jika domba bukan binatang ternak, maka domba makan rumput. Hal ini salah. Karena domba bukan binatang ternak, tetapi makan rumput.
  4. Jika domba bukan binatang ternak, maka domba tidak makan rumput. Hal ini benar, karena domba bukan binatang ternak tentu tidak makan rumput.
  5.  

Dari a, b, c, dan d kita dapat menentukan bahwa nilai kebenaran dari biimplikasi tergantung dari nilai kebenaran masing-masing pernyataan yang menyusunnya. Nilai kebenaran biimplikasi didefinisikan sebagai berikut:

  1. p benar, q benar berarti p  q benar,
  2. p benar, q salah berarti p  q salah,
  3. p salah, q benar berarti p  q salah,
  4. p salah, q salah berarti p  q benar.

Hal ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran.

p

q

p  q

p  q

q  p

(p  q)  (q  p)

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

B

B

B

 

 

 

Ketentukan nilai kebenaran biimplikasi p  q disajikan dengan tabel di atas. Seperti halnya konjungsi, disjungsi, dan implikasi, untuk biimplikasi juga tidak diharuskan adanya hubungan antara komponen-komponennya. Nilai kebenaran biimplikasi p  q semata-mata ditentukan oleh nilai kebenaran p dan q.

Biimplikasi berbentuk p(x)  q

Untuk menentukan nilai x pada biimplikasi p(x)  q, perlu diperhatikan nilai kebenaran q.

  1. Jika q bernilai benar, biimplikasi p(x)  q bernilai:

1)     benar jika p(x) bernilai benar,

2)     salah jika p(x) bernilai salah.

  1. Jika q bernilai salah, biimplikasi p(x)  q bernilai:

1)     benar jika p(x) bernilai salah,

2)     salah jika p(x) bernilai benar.

Contoh:

Jika x adalah variabel pada bilangan cacah, tentukan nilai x agar kalimat majemuk berikut bernilai benar.

  • 3x – 2  7  setiap persegi mempunyai 4 sisi yang sama panjang

Jawab:

  • 3x – 2  7  setiap persegi mempunyai 4 sisi yang sama panjang.

Kalimat di atas dapat dibentuk dari 2 komponen, yaitu p dan q, dengan

p: 3x – 2  7

q: Setiap persegi mempunyai 4 sisi yang sama panjang

Pernyataan q pada biimplikasi tersebut bernilai benar. Dengan demikian, agar biimplikasi itu benar, pernyataan p harus bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah 0, 1, 2.

Biimplikasi berbentuk p(x)  q(x)

Nilai kebenaran biimplikasi yang berbentuk p(x)  q(x) ditentukan oleh himpunan penyelesaian p(x) dan q(x). Apabila kedua himpunan penyelesaian tersebut sama, biimplikasi p(x)  q(x) bernilai benar, tetapi jika keduanya himpunan penyelesaian itu berbeda, biimplikasi p(x)  q(x) bernilai salah.

Contoh:

  1. Tentukan nilai kebenaran p(x)  q(x)

p(x): x2 – 3 = 0

q(x): x – 3 = 0

Jawab:

p(x): x2 – 9 = 0

(x – 3) (x + 3) = 0

x = 3 atau x = –3

HP = {–3, 3}

q(x): x – 3 = 0

x = 3

HP = {3}

Ternyata p(x) dan q(x) mempunyai penyelesaian yang tidak sama. Jadi, p(x)  q(x) bernilai salah.

Negasi dari biimplikasi

Dengan menggunakan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa ingkaran dari p  q adalah (p  ~q)  (~p  q) atau dapat ditulis ~(p  q)  (p  ~q)  (~p  q)

 

Contoh:

Tentukan ingkaran dari biimplikasi berikut!

"Aku bahagia jika dan hanya jika kamu di sampingku."

Jawab:

Aku bahagia dan kamu tidak di sampingku atau aku tidak bahagia dan kamu di sampingku.

Tanda "" dibaca equivalen, misalkan p  q, p equivalen dengan q berarti pernyataan p sama dengan pernyataan q.

 

 A.    Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi ini dapat dibentuk pernyataan majemuk baru yang dinamakan konvers, invers, dan kontraposisi. Empat pernyataan majemuk yang dapat dibentuk dari pernyataan p dan q itu adalah:

  1. p  q
  2. q  p
  3. ~p  ~q
  4. ~q  ~p

Pernyataan (1): p  q dinamakan implikasi

Pernyataan (2): q  p disebut konvers dari p  q

Pernyataan (3): ~p  ~q disebut invers dari p  q

Pernyataan (4): ~q  ~p disebut kontraposisi dari p  q

Nilai kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi dapat dilihat.

Pada tabel kebenaran sebagai berikut:

p

q

~p

~q

p  q

q  p

~p  ~q

~q  ~p

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

B

B

B

B

B

 

Dari tabel kebenaran di atas dapat disimpulkan:

  1. Nilai kebenaran p  q sama dengan nilai kebenaran ~q  ~p atau dapat dikatakan suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya yang dinotasikan dengan: p  q  ~q  ~p.
  2. Nilai kebenaran q  p sama dengan nilai kebenaran ~p  ~q atau dengan kata lain konvers suatu implikasi ekuivalen dengan invers suatu implikasi yang dinotasikan dengan: q  p  ~p  ~q.
  3. Karena nilai kebenarannya sama, maka:

 merupakan tautologi

Contoh:

Diketahui sebuah implikasi berikut!

 Jika dia cowok, maka dia wanita.

Dari pernyataan di atas dapat ditentukan pernyataan lain, yaitu:

-       Konversnya = jika dia wanita, maka dia cantik.

-       Inversnya = jika dia tidak cantik, maka dia bukan wanita.

-       Kontraposisinya = jika dia bukan wanita, maka dia tidak cantik.

Hubungan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat digambarkan dengan skema sebagai berikut.

Dari skema terlihat:

 

  1. Konvers dari invers suatu implikasi adalah kontraposisi dari implikasi tersebut.
  2. Kontraposisi dari konvers suatu implikasi adalah invers dari implikasi tersebut.
  3. Invers dari kontraposisi suatu implikasi adalah konvers dari implikasi tersebut.

Contoh:

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi berikut!

  1. p  (q  r)
  2. (p  q)  r

Jawab:

  1. p  (q  r)

Konversnya = (q  r)  p

Inversnya = ~p  ~(q  r) atau ~p  (~q  ~r)

Kontraposisinya = ~(q  r)  ~p atau (~q  ~r)  ~p

  1. (p  q)  r

Konversnya = r  (p  q)

Inversnya = ~(p  q)  ~r atau (~p  ~q)  ~r

Kontraposisinya = ~r  ~(p  q) atau ~r  (~p  ~q)

 

Ingkaran, Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Pada implikasi p  q, maka ingkarannya p  ~q.

Pada konvers q  p, maka ingkarannya q  ~p.

Pada invers ~p  ~q, maka ingkarannya ~p  q.

Pada kontraposisi ~q  ~p, maka ingkarannya ~q  p.

Contoh:

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi beserta masing-masing ingkarannya dari: "Jika tersenyum, maka kamu manis."

  1. Konvers = Jika kamu manis, maka kamu tersenyum.

Ingkaran = Kamu manis dan tidak tersenyum.

  1. Invers = Jika tidak tersenyum, maka kamu tidak manis.

Ingkaran = Kamu tidak tersenyum tetapi manis.

  1. Kontraposisi = Jika tidak manis, maka kamu tidak tersenyum.

Ingkaran = Kamu tidak manis tetapi tersenyum.

Soal