Semester 2 Bab 3-Logaritma

BAB 3

LOGARITMA

 

 

Standar Kompetensi

2. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan fungsi logaritma serta pertidaksamaannya dalam pemecahan masalah.

 

Kompetensi Dasar

1.1    Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

1.2    Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.

1.3    Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponen dan logaritma.

Nilai Karakter Bangsa:

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa memiliki sikap disiplin, teliti, jujur, tanggung jawab, demokratis, toleransi, kreratif, kerja keras, rasa ingin tahu, dan mandiri

Motivasi Belajar

 

Misalnya a adalah suatu bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g  1). Logaritma a dengan bilangan pokok g (ditulis: ) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh a jika bilangan a ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g.

Ditulis:

 = x jika dan hanya jika a = gx

 

 

  1. A.      Logaritma Suatu Bilangan
    1. 1.      Sifat-Sifat Logaritma Bilangan

1)       =  +

2)       =  –

3)      9log an = n x glog a

4)      .

a)      9log a =

b)      glog a =

5)      .

a)      glog a x alog b = glog b

b)       =

6)      .

a)       = a

b)       =

Contoh:

Misalkan diketahui 2log 3 = a dan 2log 5 = b. Nyatakan 6log 50!

Jawab:

2log 3 = a dan 2log 5 = b  6log 50 = ….

6log 50 =  =  =  =  =

Jadi, 6log 50 =

 

 

  1. B.      Fungsi Logaritma
  1. Pengertian Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen. Secara umum fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a  1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum.

y = f(x) = alog x, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen f(x) = ax.

  1. Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
  1. a.      Grafik fungsi logaritma dengan basis a > 1

Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi logaritma adalah:

-       Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y.

-       Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dalam langkah pertama pada bidang cartesius.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 2log x!

Jawab:

Langkah 1:

Tabel fungsi y = 2log x adalah:

X

8

4

2

1

     

f(x) = alog x

3

2

1

0

–1

–2

–3

Langkah 2:

Adalah membuat grafik:

 

  1. b.      Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1

Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = alog x mudah ditentukan.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi logaritma f(x) = !

Jawab:

Langkah 1:

Tabel fungsi f(x) =

X

     

1

2

4

8

f(x)

3

2

1

0

–1

–2

–3

Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel di atas kemudian menghubungkannya.

Langkah 2:

 

  1. c.       Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) =

Contoh:

Gambarkan fungsi f(x) = 2log x dan g(x) =  dalam satu diagram cartesius!

Jawab:

 

  1. d.      Grafik fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x

Jika grafik fungsi logaritma f(x) = 2x dan grafik fungsi g(x) = 2log x. Gambarkan dalam satu bidang koordinat cartesius!

 

 

 

  1. C.      Persamaan Logaritma
  1. Pengertian Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

  1. Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma ada beberapa bentuk-bentuk dan cara penyelesaian antara lain:

  1. Persamaan logaritma bentuk alog f(x) = alog p

Karena alog f(x) = alog p maka  = f(x) atau f(x) =  akibatnya f(x) = p.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 2log (x – 2) + 2log (x – 3) = 1!

Jawab:

2log (x – 2) + 2log (x – 3) = 1

2log (x – 2) (x – 3) = 2log 21

(x – 2) (x – 3) = 2

x2 – 5x + 6 – 2 = 0

x2 – 5x + 4 = 0

(x – 4) (x – 1) = 0

x = 4 V x = 1

Syarat tambahan:

x – 2 > 0 atau x > 2

x – 3 > 0 atau x > 3

sehingga syarat itu mengharuskan x > 3, maka nilai x yang memenuhi adalah x = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {4}.

  1. Persamaan logaritma bentuk alog f(x) = blog f(x)

Himpunan penyelesaiannya dari persamaan logaritma alog f(x) = blog g(x) (dengan a  b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a  b)  f(x) = 1.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut 2log (x2 – x + 1) = 5log (x2 – x + 1)!

Jawab:

2log (x2 – x + 1) = 5log (x2 – x + 1)

x2 – x + 1 = 1

x2 – x = 0

x(x – 1)

x = 0 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1}

  1. Persamaan logaritma bentuk alog f(x) = alog g(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = alog g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut, jika alog f(x) = alog g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut log (x – 1) + log (x – 2) = log (3x + 2)!

Jawab:

log (x – 1) + log (x – 2) = log (3x + 2)

log (x – 1) (x – 2) = log (3x + 2)

(x – 1) (x – 2) = (3x + 2)

x2 – 3x + 2 = 3x + 2

x2 – 6x = 0

x(x – 6) = 0

x = 0 atau x = 6

syarat bagi numerus:

x – 1 > 0 atau x > 1

x – 2 > 0 atau x > 2

Dari persyaratan di atas mengharuskan x > 2, sehingga penyelesaian persamaan logaritma adalah x = 6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6}.

  1. Persamaan logaritma bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma h(x)log f(x) = h(x)log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut, jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x)  1.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut!

2x – 5log (2x + 1) = 2x – 5log (x + 4)

Jawab:

2x – 5log (2x + 1) = 2x – 5log (x + 4)

2x + 1 = x + 4

x = 3

untuk x = 3  2x + 1 = 7 (positif)

x + 4 = 7(positif)

2x – 5 = 1  tidak memenuhi

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  atau { }.

  1. Persamaan logaritma bentuk A{alog x}2 + B{alog x} + C = 0

Persamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut Aalog2f(x) + Balog f(x) + C = 0, a > 0, a  0 dan f(x) > 0 serta A, B, C  R memiliki penyelesaian persamaan yang hampir samka dengan penyelesaian persamaan eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut!

  1.  = 2

Jawab:

  1.  = 2

(1 + 2logx). 2logx = 2

2logx + 2log2x = 2  misal y = 2logx

y + y2 = 2

y2 + y – 2 = 0

(y +2) (y – 1) = 0

y = –2 V y = 1

untuk y = –2  2logx = –2

                            2logx = 2log2–2

                                  x =

untuk y = 1  2logx = 1

                           2logx = 2log2

                                 x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { , 2}

 

 

  1. D.      Pertidaksamaan Logaritma
  1. Pengertian Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x.

  1. Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar, sifat-sifat tersebut dapat diungkapkan sebagai berikut:

  1. a.      Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)

1)      Jika alog f(x)  alog g(x)  f(x)  g(x); f(x) dan g(x) > 0

2)      Jika alog f(x)  alog g(x)  f(x)  g(x); f(x) dan g(x) > 0

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut ini!

log (x2 + 4x + 4)  log (5x + 10)

Jawab:

log (x2 + 4x + 4)  log (5x + 10)

x2 + 4x + 4  5x + 10

x2 – x – 6  0

(x + 2) (x – 3)  0

–2  x  3

 

syarat tambahan:

  • x2 + 4x + 4 > 0

(x + 2) (x + 2) > 0

(x + 2)2 > 0  berlaku untuk semua x dan x  –2

 

  • 5x + 10 > 0

x > –2

 

Garis himpunan penyelesaian

 

Himpunan penyelesaiannya adalah {–2 < x  3}.

  1. b.      Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)

1)      Jika alog f(x)  alog g(x) maka f(x)  g(x); f(x) dan g(x) > 0

2)      Jika alog f(x)  alog g(x) maka f(x)  g(x); f(x) dan g(x) > 0

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut!

  1.  > –2

Jawab:

  1.  > –2

 >

x2 – 5x + 4 < 4

x2 – 5x < 0

x(x – 5) < 0

0 < x < 5

 

syarat tambahan:

x2 – 5x + 4 > 0

(x – 1) (x – 4) > 0

x < 1 atau x > 4

 

Garis himpunan penyelesaian gbr

Himpunan penyelesaian {x | 0 < x < 1 atau 4 < x < 5; x  R}.

Soal